从3个数学故事看概率论、拓扑学是如何影响我们的生活

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数学并非无用

只是太超前

“哼，数学除了摧残我们这些祖国的花朵之外，然而并没有什么卵用。 ”

超模君：看来最近又要拿些真材实料来摧残一下祖国的花朵。。。

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于是，超模君又开始要讲故事了：

概率论

在文艺复兴时期，意大利出现了一位大学者，卡尔达诺（Girilamo Cardano），他精通数学、物理、医学、哲学、星占学。

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有趣的是，这位百科全书式的学者十分好赌，并且赌术不高明，因此，他也输掉了大把的家产。

不过，他喜欢赌博，也喜欢研究赌博，因此写下《论赌博游戏》一书，于1663年出版。这本书被认为是第一部概率论专著，开创了现代概率论研究的先河，也为如今的精算学做了铺垫。

所以大家千万不能跟数学好的赌博，因为输惨了，分分钟会写成一本巨作！

赌徒常有，而会数学的赌徒不常有！

在一个世纪之后，法国赌徒梅内在他常玩的两个游戏中发现了一些问题（爱思考的赌徒运气都不会太差）。

在他常玩的两个游戏里：

一个是连续掷4次色子，看能否扔出一个6；一个是掷两个色子，连续24次，看能否扔出2个色子都是6的情况。

最开始，梅内认为两种游戏方式赢钱的概率是相等的，但经过多次输钱后，他发现了不同：

第一个游戏他赢多输少。。。第二个游戏却是输多赢少。。。

于是，梅内向朋友数学家帕斯卡求助。。。

赶紧找个数学好的做朋友

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就在1654年，帕斯卡与费马探讨了这个问题（为概率论的发展打下了基础）。

随着1657年荷兰数学家惠更斯《论赌博中的计算》的发表，成为了第一部公开发表的概率论著作。

17世纪晚期，雅各布·伯努利发现，概率论远远不止用于赌博，他发现了一个神奇而又常见的情况：

大家可以回想一下：当我们随机掷一次色子，每个数字出现的概率都是1/6 ，但连续掷6次色子并不能确保每个数字都能出现。

他将他的思考和研究记录下来，写成了《猜度数》一书（此书到他死后的1713年才出版）。

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他提出了伯努利实验，是指在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。由于样本点不一定是等概率的，许多实际问题都可归结为这种模型。

更重要的是，伯努利还提出了大数定理：指在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率越趋近于一个稳定值。

这个定律在保险公司得到了充分利用（保险公司的朋友赶紧来关注）。

在此之前，保险公司只敢卖出有限的保单，因为他们认为卖出的保单越多，赔付的风险看上去就越高，这可能会导致公司垮掉。而在得知大数定理后，也就从18世纪初开始，保险公司终于开始大肆推销保险。因为根据大数定理，可以知道：保单卖得越多，赔付的概率就越趋于稳定，风险是可控的。

事实上，经济学里的最优决策以及稳定增长问题都离不开概率论。

在物理学、化学反应动力学、生物学上，也会运用到概率模型来解决问题。

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随机引起的流体力学的湍流

如今，很多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队等，这些涉及“排队过程”的问题都可用概率模型来描述，进而进行合理的安排。

在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，就要用到概率论方法。

概率论活跃在各个领域，正如拉普拉斯曾说过的这句话：生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。

超模君：等下，我先去买注彩票！

最密堆积

就在刚才去买彩票的时候，超模君路过一个水果摊，老是占道经营，那是不是解决空间利用率问题，他们就不会再占用道路了。。。

心想：假如在你面前放着一堆橙子，该如何进行摆放才能最省空间的？

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凭直觉，任何人都会说：第一层橙子彼此相邻的凹处放第二层橙子。

但这种直觉对吗？如果是对的话，那谁能给出证明呢？

赶紧回去翻书：原来在1611年，开普勒就提出过：水果商堆橙子的办法对空间的利用率是最高的，但却没办法证明（以前数学家的伟大之处，总是能留一些神奇的猜想）。

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军队堆垛炮弹

在此后的400多年里，众多数学家开展了对“开普勒猜想”的证明。

直到1998年，美国匹兹堡大学的托马斯·海尔斯（Thomas C. Hales）终于对这个“直觉”问题给出了证明：在箱子里堆放大小一样的球，用“面心立方体”的堆积方式（即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处）可以使空间利用率最高。

也就是说，水果商凭借直觉跟经验，在箱子里装橙子的办法一直都是最有效的。

谁也没想到，堆一堆橙子竟然发现这样的规律：

这些有关最密堆积的研究成果促进了现代通讯技术的发展，成为了信道编码和纠错编码研究的核心内容。

类似的，还有这个“牛顿数问题” 。

牛顿数， “Kissing Number” ，是与一个ｎ维球外切的等维球的个数。

在17世纪，牛顿和大卫·格里高里一直在争论，到底三维的牛顿数是多少。

如下图，很明显可以看出二维的牛顿数是6 ，牛顿认为三维的牛顿数是12 ，却没有证明。

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直到1953年，科特·舒特和范·德·维尔登才终于证明了三维的牛顿数确实是12 。

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三维（牛顿数是12）

2003年，奥莱格·穆辛证明了4维的牛顿数是24 。至于5维的牛顿数是多少，目前只知道它在40到44之间。早在1979年，美国明尼苏达大学的安德鲁·奥德里兹克证明了8维的牛顿数是240 ， 24维的牛顿数是196560 。事实上， 8维和24维的牛顿数的证明比三维的牛顿数简单，它们跟超密集的球体填充问题有关：8维E8点阵和24维Leech点阵。

这些看似无用的发现，其实跟互联网的发展密不可分。

20世纪60年代，一位叫戈登·朗的工程师在设计调制解调器系统时，将信号当做是一个个包含信息的“小球” ，只有这些“小球”被尽可能紧密的排列起来，才能达到信息量最大化。

经过十几年的研究，他终于发明了采用E8堆积法传递8维信号的调制解调器。这项技术可以通过电话线进行信号传播，因此不必重新设计信号电缆，大大促进了互联网的发展。

超模君：后来把方法告诉老板，老板说：哦！

拓扑学

1736年， 29岁的欧拉（Leonhard Euler）向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的七桥问题，证明了不可能在所有桥都只走一遍的情况下，走遍连接河中心两个小岛和两岸的所有七座桥。

欧拉大神总是在习以为常的情况下，发现各种超乎想象的次元！

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事实上，欧拉的解决方法是忽略了桥的长度和岛的大小，将岛和桥简化成了平面上的点与线。

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是的，欧拉的发现为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。

1847年，李斯亭（Johann Benedict Listing）将欧拉的才智进一步发展，对于这一新的数学领域，引入了“拓扑学”的概念。

数学家们觉得拓扑学十分有趣，在此后的一个多世纪，数学家们进行了大量关于拓扑学应用的研究。但是，这只是在研究，并没有将它进行实际应用。

如果想看看到底有多有趣，欢迎移步：《如何让你在10分钟内了解拓扑变换》。

直到20世纪90年代，拓扑学的应用终于开始真正的发展。

现在，几乎所有领域离不开拓扑学了。

生物学家通过扭结理论理解DNA的结构；计算机学家通过扭结在一起的同轴电缆制造量子计算机；机器人科学家也用相同的理论使机器人走路；医生以同调论为基础为病人做大脑扫描；宇宙学家以此来理解银河系的形成；通信公司运用拓扑学来决定如何布置基站进行网络覆盖；手机的照相功能也是通过拓扑学原理实现的；还有，超模君用莫比乌斯带做了个戒指表白，然后被拒。

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超模君：又说起伤心事，下次要学学薛定谔！

事实上，即使是那些理论性最强的数学研究，也可能在几十年后，在一些意想不到的领域中产生作用。

确实，数学成果从应用，再到产生实际效益，其时间并不可知，但他的价值却一直在那里，或许这也是数学的魅力。