黄金椭圆的性质

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离心率为的椭圆被称做“黄金椭圆” ，它有不少有趣的性质，本文约定椭圆方程为（a ＞b ＞0 ）。

黄金椭圆的性质// //

1. 若椭圆是黄金椭圆，则a ， b ， c 成等比数列。

证明：因为椭圆为黄金椭圆，

所以，

，故a ， b ， c 成等比数列。

上述命题的逆命题也真。

事实上，由b 2 =ac 及b 2 =a 2 －c 2 ，得

a 2 －c 2 =ac ， e 2 +e-1=0 ，

因为0 ＜e ＜1 ，故此椭圆为黄金椭圆。

2. 若椭圆为黄金椭圆，设A （a ， 0 ）， B （0 ， b ）， F （-c ， 0 ），则△ABF 为直角三角形。

证明：在△ABF 中，，

，

所以，

又椭圆为黄金椭圆。

由性质1 有b 2 =ac ，

所以

，

即△ABF 为直角三角形。

上述命题的逆命题也为真命题。

事实上，由△ABF 为直角三角形，得

，

即（a 2 +b 2 ）+(b 2 +c 2 )=(a+c) 2 ，

所以， b 2 =ac 。

故此椭圆为黄金椭圆。

3. 若椭圆是黄金椭圆， P 、Q 为椭圆上任意两点， M 为线段PQ 的中点，若PQ 与OM 的斜率存在，则

。

证明：设M （x 0 ， y 0 ）， P （x 0 +m ， y 0 +n ），

则Q （x 0 -m ， y 0 -n ），

于是k OM = 。

因为点P 、Q 在椭圆上，

所以， ①

， ②

①－② ，得，

所以，

又椭圆为黄金椭圆，

所以b 2 =ac ，

。

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上得知

，

所以b 2 =ac ，

故此椭圆为黄金椭圆。

4. 若椭圆是黄金椭圆， P 为椭圆上任意一点， P 在x 轴上的射影为M ，椭圆在P 点的法线交x 轴于N 。

证明：设P （x 0 ， y 0 ）。

将b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 两边对x 求导，得

2b 2 x+2a 2 y ·y'=0 ，

所以。

即椭圆在点P 的法线的斜率

，

故点P 的法线方程为

y-y 0 = 。

令y=0 ，

又，

所以。

又椭圆为黄金椭圆，

所以。

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上可知

，

所以。

故此椭圆为黄金椭圆。

5. 若椭圆是黄金椭圆，设A 1 （－a ，０）， A 2 （a ， 0 ）， B 1 （0 ，－b ）， B 2 （0 ， b ），则菱形A 1 B 1 A 2 B 2 的内切圆过焦点。

证明：设A 2 B 2 ：

bx+ay=ab 。

又点（0 ， 0 ）到直线bx+ay=ab 的距离，

所以

，

故焦点在内切圆上。

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上知，将b =a －c 代入，化简得a 4 －3a c +c 4 =0 ，

所以e 4 －3e 2 +1=0 。

因为0 ＜e ＜1 ，故此椭圆为黄金椭圆。