井盖为什么是圆的( 二 )

五边形
正五边形对角线与高度的关系
通过对正五边形的考察，我们可以从一开始所列的方程中找到这个问题的本质。我们发现边数越多，对角线和高度越接近。
当高度和对角线长度差较大时，更容易掉入井口，因为下落时可以翻转的角度和空间更多。当高度和对角线长度逐渐趋近时，在下落的过程中转角就不那么容易实现了。
当扩展到无限多边形时，满足条件的井盖自然是圆的
所以我们很自然的推广到边数无限大的时候，也就是当它是圆的时候，高度和对角线会越来越近，一个多边形的高度和对角线比较后是无法区分的。所以无论我们怎么翻圆形的井盖，圆圈总会和井盖牢牢的粘在一起，让它不能掉进去。
所以现在的问题是，难道只有圆形的井盖不会掉到井口下面吗？当然不是。圆度不是井盖能不能掉的根本原因。根本原因就在于那句话。
只要在翻转图形的过程中，图形宽度始终保持一致即可。
当从角度观察圆时，图形所占的宽度都是一样的，导致圆下落过程中为避开井口而进行的翻转操作失效。我们把这个性质叫做等宽，只要能找到满足等宽的图形，就能发明新的“井盖” 。
罗徕三角制图
勒洛三角卷
你可能在某些场合见过下图。画的方法也很简单，就是对称中心之间以120度的间隔相交三个半径相等的圆形成的弧形三角形。这个三角形看起来又胖又笨，但它有不寻常的性质。你在任意角度测量一对平行线的宽度，宽度是一样的。这个三角形叫做勒罗伊三角形，是由19世纪的德国工程师弗朗兹雷乌莱亚克斯命名的。也正是基于这个性质，莱洛三角形是井盖问题一个经典答案。
德国工程师弗朗兹勒洛
这个看似简单的胖三角是比较简单的等宽曲线。想象一下这个神奇的属性。在一个平面下安装几个这样的leroy三角形作为轮子，就可以移动平面而不会感觉到平面的波动。这时，又有同学在质疑。既然勒罗伊三角形的随机移动宽度总是一致的，你能做一个轮子吗？答案几乎是不可能的。为什么？
用勒罗伊三角的轮子骑自行车
虽然说勒罗伊三角在情况下都是旋转的，但是图形的宽度不会改变，然而其旋转中心点却在实时波动.想象一下，如果一辆自行车用勒罗伊三角作为它的车轮，前后车轮轴承的位置就是旋转的中心，而且这个中心总是高高低低的，这样自行车就可以骑了，但是它有一种在飞机上骑跷跷板的感觉，好像并不是特别好看。不过有人却从这种怪异的胖三角形里得出灵感来，创造了一件伟大的发明。
当滚动勒罗伊三角形时，飞机根本不动
德国的菲加斯汪克尔(figaswankel)注意到，当勒罗伊三角形在一条直线上翻转时，上下宽度总是相同的，旋转的中心是中间区域的一个小圆。如果用leroy三角形作为转子，在转子中间加一个偏心轴，然后构造一个特定的腔体，可以避免转动过程中的中心波动问题，转子可以继续转动做功？
旋转式发动机的发明者菲加斯汪克尔
但勒罗伊三角有三个明显的角度，在实际加工过程中不容易实现，转子高速旋转时必然会带来更大的磨损，因此使用锐角是不可行的。于是汪克尔采用了变形的勒罗伊三角形，即让一个圆绕着原来的勒罗伊三角形滚动，以圆的比较大边的轨迹重构一个改进的勒罗伊三角形。可以想象，如果这个外围圆的直径大于勒罗伊三角形的直径，那么比较终的轨迹会更加平滑。我们仍然可以证明这条曲线是等宽的，所以用这个光滑的勒罗伊三角形作为发动机转子更合适。