四人接力“三次求根”终问世，发明首发“卡丹公式”惹争议

16世纪的东方，大明帝国正从“隆庆新政”走向“万历中兴” ，国力逐步增强，一度成为东亚霸主，但万历后期的不理朝政，也让明朝从极盛走向衰亡。

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16世纪的欧洲却开始由衰转强：哥白尼发表日心论（波兰）、伽利略发明了温度计（意大利）、开普勒开始研究行星运动（德国）、麦哲伦环行世界（西班牙）、莎士比亚完成戏剧《理查三世》(英国)...

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16世纪的世界地图

没错，此时的欧洲正处于文艺复兴时期，文学、艺术、天文、地理、医学、数学等都得到空前的发展，也是在这个世纪，代数取得了更大的进步，我们将从意大利的4位数学家说起。

一、卡丹在《大术》中的记载

根据意大利数学家卡丹cardano《大术》一书记载，早在16世纪初期，意大利数学家费罗Ferro就掌握了如

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p、q均为正数

型的三次方程求根公式，但Ferro对这项“绝技”秘而不宣，直到去世前才传给学生菲奥尔（Fior）。沉不住气的Fior在听说塔尔塔利亚（Tartaglia）也已经得到三次方程的求根公式后，并不相信，在1535年发起了对Tartaglia的挑战。

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《大术》关于三次方程求解

要知道， Fior只是继承了老师“成果” ，并没有创新和发展，而Tartaglia是自己捉摸的公式，结果可想而知， Tartaglia因能多解出如

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p、q均为正数

型的三次方程大获全胜，并因此谋得了一个数学教授职位。

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Tartaglia（1500-1557）

这场大赛过后，很多人都知道了三次方程是可解的，但是并不知道方法或公式， Tartaglia继续保守这个秘密，毕竟手里没有“绝技”是很危险的——这点从他取胜后便获得数学教授一事便可知。

意大利此时“学术上的封闭”对数学发展是很不利的，但Cardano跨出了重要的一步。在尝试了很多方法以后， Cardano终于从 Tartaglia哪里得到了一首25行诗——此诗晦涩难懂，但的确包含了三次方程的求根公式，并被Cardano破译了。在此基础上， Cardano的学生费拉里（Ferrari）解出了四次方程。这一系列成果最终出现在Cardano的《大术》一书中。因为首发，现在大家对于这一公式的叫法仍然是“卡丹公式” 。

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Cardano（1501～1576）

二、《大术》这样解三次方程

《大术》一出，又一场腥风血雨开始了，但这无关方程的进展，此处略去。主要介绍一下Cardano在《大术》一书中对三次方程的处理：

【具体解答】

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用符号表示解法，有一般性，但也是不易理解的，现在举一例说明；

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卡丹到此为止，与复数的发现失之交臂。

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Bombelli的L'Algebra

三、邦贝利受到的启发

同时期的数学家邦贝利Bombelli注意到了解三次方程里面出现的“负数的平方根”问题，这里容易知道

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有三个实根，但是求根公式得到的数里居然有负数的平方根，即

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，这大大促使数学家们对“复数”的好奇心， Bombelli发现复数应该是“共轭”出现的，并给出了运算法则。

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四、欧拉的贡献

值得注意的是， Cardano只给出了3次方程的一个解，但根据代数基本定理，一元n次方程有n个根，那另外两个根是什么? 这看似一个简单的问题，因为对“复数”认识的缺陷，要直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉Euler给出。

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欧拉-Euler

Euler从三次方程

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的三个根出发得到一般三次方程的三个解：

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五、韦达与代数

当代中学生知晓法国数学家韦达（Viète,1540~1603）多半是因为著名的“韦达定理” ，在一元二次方程中，韦达定理告诉我们：

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但实际上， Viète作为“代数学之父” ，对代数的贡献远不只此，他第一个有意识、系统地使用字母来表示已知数[辅音字母B ， C ， D等]、未知数[元音字母A/N）等]及其乘幂[A quadratus,A cubus 表示未知数的平方、立方] 。这是代数学的一大进步，丢番图解题也使用符号，但都是一题一解， Viète则力求一般化，用统一的符号来进行运算以代替数的运算。